Questão 11. Na figura, PQ é tangente a um ponto R do círculo com centro O. Se ∠TRQ = 30 °, encontre m ∠PRS

Solução:

∠TRQ = 30 ° e PQ é tangente no ponto R

Para Encontrar: ∠PRS

Agora ∠SRT = 90 ° (ângulo em semicírculo)

Além disso, ∠TRQ + ∠SRT + ∠PRS = 180 ° (ângulos de uma linha)

=> 30 ° + 90 ° + ∠PRS = 180 °

=> ∠PRS = 180 ° - 120 °

=> ∠PRS = 60 °

Questão 12. Se PA e PB são tangentes de um ponto externo P, tal que PA = 10 cm e ∠APB = 60 °. Encontre o comprimento do acorde AB.

Solução:

PA = 10 cm e ∠APB = 60 °

Nós também sabemos que 

      PA = PB = 10 cm (tangentes desenhadas de um ponto fora do círculo são iguais)

=> ∠PAB = ∠PBA

Agora, no ∆APB, temos:

     ∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180 ° (ângulos de um triângulo)

=> 60 ° + ∠PAB + ∠PAB = 180 °

=> 2 ∠PAB = 180 ° - 60 ° = 120 °

=> ∠PAB = 60 °

∠PBA = ∠PAB = 60 °

Portanto. PA = PB = AB = 10 cm

Assim, comprimento da string AB = 10 cm

Questão 13. Em um triângulo retângulo ABC no qual ∠B = 90 °, um círculo é desenhado com AB como o diâmetro que cruza a hipotenusa AC em P. Prove que a tangente ao círculo em P divide BC.

Solução:

Dado: Seja O o centro do círculo com diâmetro AB.

Tangentes ao círculo em P encontram BC em Q.

Para provar: PQ divide BC, ou seja, BQ = QC

Prova:

∠ABC = 90 °     

Em ∆ABC, ∠1 + ∠5 = 90 ° [propriedade da soma do ângulo, ∠ABC = 90 °]

∠3 = ∠1 [ângulo entre a tangente e a string é igual ao ângulo feito pela string no segmento alternativo]

=> ∠3 + ∠5 = 90 ° (1)

E, ∠APB = 90 ° [ângulo em semicírculo]

=> ∠3 + ∠4 = 90 ° (2) [∠APB + ∠BPC = 180 °, par linear]

Da Equação (1) e (2), obtemos

∠3 + ∠5 = ∠3 + ∠4

∠5 = ∠4

=> PQ = QC (3) [lados opostos a ângulos iguais são iguais]

Além disso, QP = QB (4) [tangentes traçadas de um ponto interno a um círculo são iguais]

Da equação (3) e (4), obtemos:

=> QB = QC

Assim, PQ bissecta BC é provado

Questão 14. De um ponto externo P, as tangentes PA e PB são desenhadas em um círculo com centro O. Se CD for a tangente ao círculo em um ponto E e PA = 14 cm, encontre o perímetro de ∆PCD.

Solução:

PA = 14 cm

PA = PB = 14 cm (PA e PB são as tangentes ao círculo de P)

Também,

CA = CE (1) (CA e CE são as tangentes de C)

DB = DE (2) (DB e DE são as tangentes de D)

Portanto, perímetro de ∆PCD:

 = PC+ PD + CD

=> PC+ PD + CE + DE

=> PC+ CE + PD + DE

=> PC+ CA + PD = DB (de (1) e (2))

=> PA + PB

=> 14 cm + 14 cm

= 28 cm

Questão 15. Na figura, ABC é um triângulo retângulo em B tal que BC = 6 cm e AB = 8 cm. Encontre o raio de seu incircle.

Solução:

∠B = 90 °, BC = 6 cm, AB = 8 cm er o raio do incircle com centro O

Aplicando o Teorema de Pitágoras em ∆ABC em ângulo reto:

     AC² = AB² + BC² 

=> AC² = (8) ² + (6) ² = 64 + 36 = 100 

=> AC = 10 cm

=> AR + CR = 10 cm (1)

Agora, AP = AR (AP e AR são as tangentes ao círculo de A)

Da mesma forma, CR = CQ e BQ = BP

OP e OQ são raios do círculo = r (2)

OP ⊥ AB e OQ ⊥ BC (3) (ângulo entre o raio e o ponto de contato da tangente é 90 °)

e ∠B = 90 ° (4)

Da equação (2), (3) e (4):

BPOQ é um quadrado

=> BP = BQ = r

=> AR = AP = AB - BD = 8 - r (5)

e CR = CQ = BC - BQ = 6 - r (6)

Da equação (1), (5) e (6), obtemos:

      AR + CR = 10

=> 8 - r + 6 - r = 10 (de (5) e (6))

=> 14 - 2r = 10

=> 2r = 14 - 10 = 4

=> r = 2

Raio do incircle = 2 cm

Questão 16. Prove que a tangente desenhada no ponto médio de um arco de círculo é paralela à string que une os pontos finais do arco.

Solução:

Dado: Seja o ponto médio do arco ACB C e, DCE seja a tangente a ele

Para provar: AB || DCE

Prova:

Arco AC = Arco BC

=> Acorde AC = Acorde BC

Agora, em ∆ABC, 

     AC = BC

=> ∠CAB = ∠CBA (1) (lados iguais correspondentes ao ângulo igual)

Desde então, DCE é uma linha tangente.

∠ACD = ∠CBA (ângulo no segmento alternativo são iguais)

=> ∠ACD = ∠CAB (da Eq. (1))

=> ∠ACD e ∠CAB são ângulos alternados

O que só é possível quando AB || CDE

Portanto, a tangente desenhada no ponto médio de um arco de círculo é paralela à string que une os pontos finais do arco.

Questão 17. A partir de um ponto P, duas tangentes PA e PB são desenhadas em um círculo com centro O. Se OP = diâmetro do círculo, mostre que ∆APB é equilátero.

Solução:

Dado: Duas tangentes PA e PB são desenhadas para o círculo e OP é o diâmetro 

Para provar: ∆APB é equilátero

Prova: OP = 2r (seja r o raio do círculo)

=> OQ + QP = 2r

=> OQ = QP = r (OQ é o raio)

Agora na direita ∆OAP,

OP é a hipotenusa e Q é o ponto médio dela

=> OA = AQ = OQ (o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante de seus vértices)

Assim, ∆OAQ é um triângulo equilátero 

=> ∠AOQ = 60 °

Além disso, ∠APO = 90 ° - 60 ° = 30 ° (a soma de todos os ângulos do triângulo é 180 °)

=> ∠APB = 2 ∠APO = 2 x 30 ° = 60 ° (1)

Também sabemos que, PA = PB (tangentes de P ao círculo)

=> ∠PAB = ∠PBA (2)

Agora, em ∆APB:

     ∠PBA + PAB + ∠APB = 180 ° (soma de todos os ângulos)

=> 2∠PBA = 120 ° (de (1) e (2))

=> ∠PAB = ∠PBA = 60 °

Portanto, ∆APB é um triângulo equilátero.

Questão 18. Dois segmentos tangentes PA e PB são desenhados em um círculo com centro O tal que ∠APB = 120 °. Prove que OP = 2 AP. 

Solução:

Dado: Duas tangentes ao círculo de um ponto P e ∠APB = 120 °

Para provar: OP = 2 AP

Prova: À direita ∆OAP,

∠OPA = (1/2) ∠APB = 60 °

=> ∠AOP = 90 ° - 60 ° = 30 °

Seja Q o ponto médio da hipotenusa OP de ∆OAP

=> QO = QA = QP

=> ∠OAQ = ∠AOQ = 30 ° 

=> ∠PAQ = 90 ° - 30 ° = 60 °

Então, ∆AQP é um triângulo equilátero

=> QA = QP = AP (1)

Além disso, Q é o ponto médio do OP

=> OP = 2 QP = 2 AP (de (1))

Conseqüentemente, provado.

Questão 19. Se ∆ABC é isósceles com AB = AC e C (0, r) é o incircle do ∆ABC tocando BC em L. Prove que L bisseciona BC.

Solução:

Dado: ∆ABC isósceles com AB = AC e incircle com centro O e raio r toca o lado BC de ∆ABC em L.

Para provar: L é o ponto médio do BC.

Prova: AM e AN são as tangentes ao círculo de A

=> AP = AQ

Mas AB = AC (dado)

=> AB - AQ = AC - AP

=> BQ = CP (1)

Agora BL e BQ são as tangentes de B

=> BL = BQ (2)

Da mesma forma, CL e CP são tangentes

=> CL = CP (3)

Além disso, BQ = CP (de (1))

=> BL = CL (de (2) e (3))

Conseqüentemente, provou que L é o ponto médio do BC.