Uma relação R é dita circular se aRb e bRc juntos implicarem cRa.

Qual das seguintes opções é / estão corretas?
(A) Se uma relação S é reflexiva e simétrica, então S é uma relação de equivalência.
(B) Se uma relação S é circular e simétrica, então S é uma relação de equivalência.
(C) Se uma relação S é reflexiva e circular, então S é uma relação de equivalência.
(D) Se uma relação S é transitiva e circular, então S é uma relação de equivalência.

Resposta: (C)
Explicação: Se R é circular e reflexivo, então R é uma relação de equivalência em A.

Prova:
suponha que R seja circular e reflexivo. Queremos provar que R é uma relação de equivalência.
Já sabemos que R é reflexivo, então precisamos provar que R é simétrico e transitivo.

Para simetria, suponha que x, y ∈ A de modo que xRy. Queremos provar que yRx.
Como R é reflexivo e y ∈ A, sabemos que yRy.
Como R é circular e xRy e yRy, sabemos que yRx.
Portanto, R é simétrico.

Para transitividade, suponha que x, y, z ∈ A de modo que xRy e yRz. Queremos provar que xRz.

Como R é circular e xRy e yRz, sabemos que zRx.
Como já provamos que R é simétrico, zRx implica que xRz. Assim, R é transitivo.

Portanto, R é uma relação de equivalência.

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