1. Hiperplano:
Geometricamente, um hiperplano é uma entidade geométrica cuja dimensão é um a menos do que o seu espaço ambiente.

O que isso significa? 
Isso significa o seguinte. Por exemplo, se você pegar o espaço 3D, o hiperplano é uma entidade geométrica 1 adimensional. Portanto, terá 2 dimensões e uma entidade bidimensional em um espaço 3D seria um plano. Agora, se você tomar 2 dimensões, então 1 adimensional seria uma entidade geométrica unidimensional, que seria uma linha e assim por diante. 

  • O hiperplano é geralmente descrito por uma equação como segue 

    X T n + b = 0

  • Se expandirmos isso para n variáveis, obteremos algo assim 



    X 1 n 1 + X 2 n 2 + X 3 n 3 + ……… .. + X n n n + b = 0

  • Em apenas duas dimensões, obteremos algo assim, que nada mais é do que a equação de uma linha. 

    X 1 n 1 + X 2 n 2 + b = 0

Exemplo: 

Let us consider a 2D geometry with
 n = \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ \end{bmatrix} and\ b = 4 
Though it's a 2D geometry the value of X will be
 X = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} 
So according to the equation of hyperplane it can be solved as
 X^Tn + b = 0\\ \begin{bmatrix} x_1 x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ \end{bmatrix} + 4 = 0\\ x_1 + 3x_2 + 4 = 0  
So as you can see from the solution the hyperplane is the equation of a line.

2. Subespaço:
Hiperplanos, em geral, não são subespaços . No entanto, se tivermos hiperplanos da forma,

X T n = 0

Ou seja, se o plano passa pela origem, um hiperplano também se torna um subespaço.

3. Meio-espaço:
Considere esta imagem bidimensional fornecida abaixo.

Então, aqui temos um espaço bidimensional em X 1 e X 2 e como discutimos antes, uma equação em duas dimensões seria uma linha que seria um hiperplano. Então, a equação da linha é escrita como

X T n + b = 0 

Então, para essas duas dimensões, poderíamos escrever esta linha como discutimos anteriormente 

X 1 n 1 + X 2 n 2 + b = 0

Você pode notar no gráfico acima que todo este espaço bidimensional está dividido em dois espaços; Um deste lado (+ ve metade do plano) de uma linha e o outro deste lado (-ve metade do plano) de uma linha. Agora, esses dois espaços são chamados de meios-espaços.

Exemplo:

Vamos considerar o mesmo exemplo que tomamos no caso do hiperplano. Então, resolvendo, obtivemos a equação de 

x 1 + 3x 2 + 4 = 0

Podem surgir 3 casos. Vamos discutir cada caso com um exemplo.



Caso 1:

x 1 + 3x 2 + 4 = 0: na linha

Vamos considerar dois pontos (-1, -1). Quando colocamos esse valor na equação da linha, obtemos 0. Portanto, podemos dizer que esse ponto está no hiperplano da linha. 

Caso 2: 
Da mesma forma, 

x 1 + 3x 2 + 4> 0: meio-espaço positivo

Considere dois pontos (1, -1). Quando colocamos este valor na equação da reta, obtemos 2, que é maior que 0. Portanto, podemos dizer que este ponto está na metade do espaço positivo. 
Caso 3: 

x 1 + 3x 2 + 4 <0: meio-espaço negativo

Considere dois pontos (1, -2). Quando colocamos este valor na equação da reta, obtemos -1 que é menor que 0. Portanto, podemos dizer que este ponto está no meio-espaço negativo.