Uma identidade algébrica é uma igualdade válida para qualquer valor de suas variáveis. Eles geralmente são usados ​​na fatoração de polinômios ou simplificação de cálculos algébricos. Um polinômio é apenas um grupo de termos algébricos somados, por exemplo, p (x) = 4x + 1 é um polinômio de grau 1. Da mesma forma, os polinômios podem ser de qualquer grau 1, 2, 3 ... e assim por diante. Polinômios são basicamente aquelas expressões matemáticas que tornam os cálculos fáceis na vida real. Existem diferentes tipos de polinômios, dependendo do número de termos presentes neles, por exemplo, se houver 2 termos, é conhecido como binômio.

Zeros de polinômios

Vamos supor que P (x) seja um polinômio. Seja x = r, o valor de x onde nosso polinômio P (x) torna-se zero, ou seja, 

P (x) = 0 em x = r ou P (r) = 0

O processo de encontrar os zeros de P (x) é simplesmente resolver a equação P (x) = 0. Já sabemos como calcular zeros para polinômios de primeiro e segundo graus. Vamos ver alguns exemplos disso, 

Questão 1: P (x) = x ² + 2x - 15. Encontre as raízes deste polinômio. 

Solução:

Vamos colocar P (x) = 0, 

x ² + 2x -15 = 0 

⇒ x ² + 5x - 3x - 15 = 0 

⇒ x (x +5) -3 (x + 5) = 0 

⇒ (x - 3) (x + 5) = 0 

Portanto, esta expressão será zero para dois valores de x, ou seja, x = 3 e -5. 

O último exemplo usou o método de fatoração para encontrar as raízes do polinômio. Também podemos usar outros métodos, como o fator zero da fórmula quadrática de Shree Dharacharya para descobrir as raízes ou zeros de um polinômio. 

Se ax ² + bx + c = 0, onde a ≠ 0, então a fórmula para raízes será,

Esta fórmula para descobrir as raízes de um polinômio é conhecida como Shree Dharacharya Quadratic Formula.

Questão 2: Resolva para as raízes do polinômio, x ² + 6x - 14 = 0

Solução: 

Como está claro que a expressão acima não pode ser simplificada apenas pela intuição, portanto, devemos escolher a Fórmula Dharacharya.

Aqui, a = 1, b = + 6, c = -14

x = -3 ± √23

Significado geométrico dos zeros de um polinômio

Nós sabemos o que são zeros, mas por que eles são importantes? Vejamos a interpretação gráfica do significado por trás dos zeros. Vejamos os gráficos dos polinômios de primeiro e segundo graus. 

Vamos pegar um polinômio y = 2x + 1, essa também é uma equação de uma linha reta. A figura abaixo representa o gráfico desta reta. Veremos as posições em que y se torna zero. 

Este gráfico cruza o eixo x em uma posição, há apenas uma raiz. Portanto, podemos concluir a partir do gráfico que as raízes são a posição onde o gráfico do polinômio intercepta o eixo x. 

Portanto, em geral, para um polinômio y = ax + b, ele representa uma linha reta com uma raiz, que fica na posição onde o gráfico corta o eixo x, isto é ( .

Agora, vamos olhar os gráficos de polinômios de segundo grau

Seja p (x) = x ² - 3x - 4, a figura abaixo representa seu gráfico. Vamos nos concentrar nas raízes desse polinômio. 

Neste gráfico, podemos ver que ele corta o eixo x em dois pontos. Então, esses dois pontos são os zeros desse polinômio. Mas será sempre assim? Este gráfico pode estar voltado para cima ou para baixo, dependendo do coeficiente de x ² . 

Em geral, os zeros de um polinômio quadrático ax ² + bx + c, a ≠ 0, são precisamente as coordenadas x dos pontos onde a parábola representando y = ax ² + bx + c intersecta o eixo x.

Três casos possíveis podem acontecer com a forma do gráfico. 

Caso (i): O gráfico corta o eixo x em dois pontos distintos A e A ′. Este é o caso que foi mostrado acima. Aqui, o polinômio y = ax ² + bx + c tem duas raízes distintas. 

Caso (ii): O gráfico corta o eixo x em exatamente um ponto, ou seja, em dois pontos coincidentes. Duas mesmas raízes. Aqui, o polinômio y = ax ² + bx + c tem apenas uma raiz. 

Caso (iii): o gráfico está completamente acima do eixo x ou completamente abaixo do eixo x. Aqui, o polinômio y = ax ² + bx + c não tem raízes. 

Da mesma forma, vamos estudar isso para um polinômio cúbico . 

Polinômio Cúbico

Vamos supor um polinômio, P (x) = x ³ - 4x. 

P (x) = x (x ² -4)  

        = x (x-2) (x + 2) 

Portanto, as raízes deste polinômio são x = 0, 2, -2. 

Podemos verificar no gráfico que esses devem ser os locais onde a curva corta o eixo x. 

Mas, como no caso de polinômios de segundo grau, pode haver mais de uma possibilidade. 

Vamos dar um exemplo de polinômio cúbico P (x) = x ³ 

Este gráfico corta o eixo x apenas em um ponto. Portanto, x = 0 é a única raiz do polinômio p (x) = x ³ . 

Pode haver outro caso, por exemplo, tome P (x) = x ³ - x ² . 

Podemos ver que o gráfico dessa função corta o eixo x em apenas dois lugares. A partir do exemplo acima, podemos dizer que este polinômio pode ter no máximo 3 zeros. 

Nota: Em geral, um polinômio de grau “N” pode ter no máximo N zeros. 

Pergunta 1: Qual dos gráficos a seguir representa um polinômio cúbico. 

Responder: 

(A) é o gráfico de um polinômio cúbico porque corta o eixo x apenas três vezes. 

(B) não corta o eixo x de forma alguma e está aumentando continuamente, então não pode ser. 

(C) Ele corta o eixo x em mais de 5 pontos. Portanto, não pode ser polinomial de três graus

(D) É o gráfico de uma parábola, que estudamos anteriormente. Portanto, não é um polinômio cúbico. 

Questão 2: Mostre os zeros da equação quadrática no gráfico, x ² - 3x - 4 = 0

Solução:

Pela equação, podemos dizer que existem 2 valores de x.

Fatorando a equação quadrática para descobrir os valores de x,

x ² -4x + x-4 = 0

x (x-4) +1 (x-4) = 0

x = (-1), x = 4

Portanto, o gráfico será uma parábola ascendente interceptando em (-1,0) e (4,0)

Pergunta 3: Encontre o ponto onde o gráfico intercepta o eixo x para a equação quadrática, x ² - 2x - 8 = 0

Solução:

Fatorar a equação quadrática para encontrar os pontos,

x ² -4x + 2x-8 = 0

x (x-4) +2 (x-4) = 0

(x-4) (x + 2) = 0

x = 4, x = (-2)

Portanto, a equação cortará o gráfico no eixo x em (4,0) e (-2,0)