Questão 11. Se a soma dos primeiros n termos de um AP é 4n - n ² , qual é o primeiro termo (ou seja, S ₁ )? Qual é a soma dos dois primeiros termos? Qual é o segundo mandato? Da mesma forma, encontre o terceiro, o décimo e o enésimo termos.

Solução:

Dado:

S _n = 4n − n ²

O primeiro termo pode ser obtido colocando n = 1, 

a = S ₁ = 4 (1) - (1) ² = 4−1 = 3

Também,

Soma dos dois primeiros termos = S ₂ = 4 (2) - (2) ² = 8−4 = 4

Segundo termo, a ₂ = S2 - S1 = 4−3 = 1

Diferença comum, d = a ₂ −a ₁ = 1−3 = −2

Também,

Enésimo termo, a _n = a + (n − 1) d

= 3+ (n −1) (- 2)

= 3−2n +2

= 5−2n

Portanto, a ₃ = 5−2 (3) = 5-6 = −1

a ₁₀ = 5−2 (10) = 5−20 = −15

Portanto, a soma dos dois primeiros termos é equivalente a 4. O segundo termo é 1.

E, o terceiro, o décimo e o enésimo termos são −1, −15 e 5 - 2n respectivamente.

Questão 12. Encontre a soma dos primeiros 40 inteiros positivos divisíveis por 6.

Solução:

Os primeiros inteiros positivos que são divisíveis por 6 são 6, 12, 18, 24….

Percebendo esta série, 

Primeiro termo, a = 6 

Diferença comum, d = 6.

Soma de n termos, sabemos,

S _n = n / 2 [2a + (n - 1) d]

Substituindo os valores, obtemos

S ₄₀ = 40/2 [2 (6) + (40-1) 6]

= 20 [12+ (39) (6)]

= 20 (12 + 234)

= 20 × 246

= 4920

Questão 13. Encontre a soma dos primeiros 15 múltiplos de 8.

Solução:

Os primeiros múltiplos de 8 são 8, 16, 24, 32 ...

Percebendo esta série, 

Primeiro termo, a = 8 

Diferença comum, d = 8.

Soma de n termos, sabemos,

S _n = n / 2 [2a + (n-1) d]

Substituindo os valores, obtemos,

S ₁₅ = 15/2 [2 (8) + (15-1) 8]

= 15/2 [6 + (14) (8)]

= 15/2 [16 +112]

= 15 (128) / 2

= 15 × 64

= 960

Questão 14. Encontre a soma dos números ímpares entre 0 e 50.

Solução:

Os números ímpares entre 0 e 50 são 1, 3, 5, 7, 9… 49.

Portanto, podemos ver que esses números ímpares estão na forma de AP

Agora,

Primeiro termo, a = 1

Diferença comum, d = 2

Último termo, l = 49

O último termo é equivalente a, 

l = a + (n − 1) d

49 = 1+ (n − 1) 2

48 = 2 (n - 1)

n - 1 = 24

Resolvendo para n, obtemos,

n = 25

Soma do enésimo termo,

S _n = n / 2 (a + l)

Substituindo esses valores, 

S ₂₅ = 25/2 (1 + 49)

= 25 (50) / 2

= (25) (25)

= 625

Questão 15. Um contrato de trabalho de construção especifica uma penalidade para o atraso na conclusão além de uma determinada data, como segue: Rs. 200 para o primeiro dia, Rs. 250 para o segundo dia, Rs. 300 para o terceiro dia, etc., a penalidade para cada dia seguinte sendo Rs. 50 a mais que no dia anterior. Quanto dinheiro o empreiteiro tem que pagar como multa, se ele atrasar a obra em 30 dias.

Solução:

As penalidades dadas formam e AP tendo primeiro termo, a = 200 e diferença comum, d = 50.

Pelas restrições dadas, 

Penalidade que deve ser paga se o empreiteiro atrasar o trabalho em 30 dias = S ₃₀

Soma do enésimo termo, nós sabemos,

S _n = n / 2 [2a + (n -1) d]

Calculando, nós obtemos, 

S ₃₀ = 30/2 [2 (200) + (30 - 1) 50]

= 15 [400 + 1450]

= 15 (1850)

= 27750

Portanto, o contratante tem que pagar Rs 27750 como multa por atraso de 30 dias.

Questão 16. Uma soma de Rs 700 deve ser usada para dar sete prêmios em dinheiro aos alunos de uma escola para seu desempenho acadêmico geral. Se cada prêmio for Rs 20 menor que o prêmio anterior, encontre o valor de cada um dos prêmios.

Solução:

Vamos supor que o custo do primeiro prêmio seja de Rs. P.

Então, custo do 2º prêmio = Rs. P - 20

Além disso, custo do 3º prêmio = Rs. P - 40

Esses prêmios formam um AP, com diferença comum, d = −20 e no primeiro período, a = P.

Dado isso, S ₇ = 700

Soma do enésimo termo, 

S _n = n / 2 [2a + (n - 1) d]

Substituindo esses valores, obtemos,

7/2 [2a + (7 - 1) d] = 700

Resolvendo, nós temos,

a + 3 (−20) = 100

a -60 = 100

a = 160

Portanto, o valor de cada um dos prêmios foi Rs 160, Rs 140, Rs 120, Rs 100, Rs 80, Rs 60 e Rs 40.

Questão 17. Em uma escola, os alunos pensaram em plantar árvores dentro e ao redor da escola para reduzir a poluição do ar. Foi decidido que o número de árvores, que cada seção de cada classe plantará, será o mesmo da classe em que estão estudando, por exemplo, uma seção da classe I plantará 1 árvore, uma seção da classe II irá plante 2 árvores e assim por diante até a classe XII. Existem três seções de cada classe. Quantas árvores serão plantadas pelos alunos?

Solução:

O número de árvores plantadas pelos alunos forma um AP, 1, 2, 3, 4, 5 ……………… ..12

Agora,

Primeiro termo, a = 1

Diferença comum, d = 2−1 = 1

Soma do enésimo termo,

S _n = n / 2 [2a + (n-1) d]

S ₁₂ = 12/2 [2 (1) + (12-1) (1)]

= 6 (2 + 11)

= 6 (13)

= 78

Número de árvores plantadas por 1 seção das classes = 78

Portanto,

Número de árvores plantadas por 3 seções das classes = 3 × 78 = 234

Questão 18. Uma espiral é composta de semicírculos sucessivos, com centros alternadamente em A e B, começando com o centro em A de raios 0,5, 1,0 cm, 1,5 cm, 2,0 cm, ……… como mostrado na figura. Qual é o comprimento total dessa espiral composta de treze semicírculos consecutivos? (Tome π = 22/7)

Solução:

Nós sabemos,

Perímetro de um semicírculo = πr

Calculando,

P ₁ = π (0,5) = π / 2 cm

P ₂ = π (1) = π cm

P ₃ = π (1,5) = 3π / 2 cm

Onde, P ₁ , P ₂ , P ₃ são os comprimentos dos semicírculos, respectivamente.

Agora, isso forma uma série, tal que,

π / 2, π, 3π / 2, 2π,….

P ₁ = π / 2 cm

P ₂ = π cm

Diferença comum, d = P ₂ - P ₁ = π - π / 2 = π / 2

Primeiro termo = P ₁ = a = π / 2 cm

Soma do enésimo termo, 

Sn = n / 2 [2a + (n - 1) d]

Portanto, a soma do comprimento de 13 círculos consecutivos é;

S ₁₃ = 13/2 [2 (π / 2) + (13 - 1) π / 2]

Resolvendo, nós temos,

= 13/2 [π + 6π]

= 13/2 (7π)

= 13/2 × 7 × 22/7

= 143 cm

Questão 19. 200 toras são empilhadas da seguinte maneira: 20 toras na linha inferior, 19 na linha seguinte, 18 na linha próxima a ela e assim por diante. Em quantas linhas os 200 logs são colocados e quantos logs estão na linha superior?

[1]

Solução:

O número de registros em linhas está na forma de um AP 20, 19, 18 ...

Dado, 

Primeiro termo, a = 20 e diferença comum, d = a2 − a1 = 19−20 = −1

Vamos supor um total de 200 logs a serem colocados em n linhas.

Assim, S _n = 200

Soma do enésimo termo,

Sn = n / 2 [2a + (n -1) d]

S12 = 12/2 [2 (20) + (n -1) (- 1)]

400 = n (40 − n + 1)

400 = n (41-n)

400 = 41n − n ²

Resolvendo o eq, nós obtemos,

n ² −41n + 400 = 0

n ² −16n − 25n + 400 = 0

n (n −16) −25 (n −16) = 0

(n −16) (n −25) = 0

Agora,

Ou (n −16) = 0 ou n − 25 = 0

n = 16 ou n = 25

Pela fórmula do enésimo termo,

a _n = a + (n − 1) d

a ₁₆ = 20+ (16−1) (- 1)

= 20-15

= 5

E, o 25º termo é, 

a ₂₅ = 20+ (25−1) (- 1)

= 20−24

= -4

Portanto, 200 registros podem ser colocados em 16 linhas e o número de registros na 16ª linha é 5, já que o número de registros não pode ser negativo como no caso do 25º termo.

Questão 20. Em uma corrida de batata, um balde é colocado no ponto de partida, que fica a 5 m da primeira batata e as outras batatas são colocadas a 3 m de distância em linha reta. Existem dez batatas na fila.

Um competidor começa do balde, pega a batata mais próxima, corre de volta com ela, joga no balde, corre de volta para pegar a próxima batata, corre até o balde para jogá-la e continua da mesma maneira até todas as batatas estão no balde. Qual é a distância total que o competidor deve percorrer?

[Dica: para pegar a primeira batata e a segunda batata, a distância total (em metros) percorrida por um concorrente é 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

Solução:

As distâncias das batatas do balde são 5, 8, 11, 14 ..., que formam um AP.

Agora, sabemos que a distância percorrida pelo competidor para coletar essas batatas é o dobro da distância em que as batatas foram mantidas.

Portanto, as distâncias a serem percorridas em relação às distâncias das batatas são equivalentes a, 

10, 16, 22, 28, 34, ……….

Obtemos, a = 10 e d = 16−10 = 6

Soma do enésimo termo, obtemos,

S ₁₀ = 12/2 [2 (20) + (n -1) (- 1)]

= 5 [20 + 54]

= 5 (74)

Resolvendo nós conseguimos, 

= 370

Portanto, o competidor percorrerá uma distância total de 370 m.