Questão 11. A curva de uma estrada de ferro deve ser traçada em um círculo. Que raio deve ser usado se a pista deve mudar de direção em 25 ^o em uma distância de 40 metros.

Solução:

Deixe AB denotar a estrada de ferro fornecida. 

Recebemos ∠AOB = 25 ^o . Sabemos 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c

Portanto, 25 ^o = 25 × π / 180 = 5π / 36 radianos

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ ∠AOB = AB / OA ⇒ (5π / 36) ^c = 40 / r ⇒ r = 288 / π = 91,64 m 

Portanto, o raio da pista é 91,64 m.

Questão 12. Encontre o comprimento que a uma distância de 5280m subentenderá um ângulo de 1 'no olho.

Solução:

Seja θ = 1 'e o comprimento do arco que subtende θ seja l.

Raio = OA = OB = 5280m 

Sabemos que 1 '= 60 ^o ⇒ 1' = (1/60) ^o .  Como 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c ,

⇒ θ = 1 '= (1/60 × π / 180) ^c 

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ (1/60 × π / 180) ^c = l / 5280 ⇒ l = 1,5365 m

Portanto, o comprimento do arco é 1,5365 m.

Questão 13. Uma roda faz 360 rotações por minuto. Por quantos radianos ele gira em 1 segundo?

Solução:

Uma vez que a roda faz 360 rotações em 1 minuto, o número de rotações feitas por ela em 1 segundo = 360/60 = 6.

Ângulo feito pela roda em 1 revolução = 360 ^o

Assim, ângulo feito pela roda em 6 revoluções = Ângulo feito em 1 segundo = 360 × 6 = 2160 ^o

Sabemos 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c

Portanto, 2160 ^o = (2160π / 180) ^c = 12π radianos

Assim, a roda gira 12π radianos em 1 segundo.

Questão 14. Encontre o ângulo em radianos através do qual um pêndulo oscila se seu comprimento for 75 cm e a ponta descrever um arco de comprimento:

(i) 10 cm

Solução:

Seja OA o comprimento do pêndulo. ⇒ OA = 75 cm = 0,75 m

Deixe o arco ser denotado por AB. ⇒ AB = 10 cm = 0,1 m

Além disso, θ = Arco / Raio = 0,1 / 0,75 = 2/15 radianos

Portanto, o ângulo é de 2/15 radianos.

(ii) 15 cm

Solução:

Seja OA o comprimento do pêndulo. ⇒ OA = 75 cm = 0,75 m

Deixe o arco ser denotado por AB. ⇒ AB = 15 cm = 0,15 m

Além disso, θ = Arco / Raio = 0,15 / 0,75 = 1/5 radianos

Portanto, o ângulo é de 1/5 radianos.

(iii) 21 cm

Solução:

Seja OA o comprimento do pêndulo. ⇒ OA = 75 cm = 0,75 m

Deixe o arco ser denotado por AB. ⇒ AB = 15 cm = 0,21 m

Além disso, θ = Arco / Raio = 0,21 / 0,75 = 7/25 radianos

Portanto, o ângulo é de 7/25 radianos.

Questão 15. O raio de um círculo é de 30 cm. Encontre o comprimento do arco do círculo, se o comprimento da string do arco for 30 cm.

Solução:

Seja OA = OB = Raio do círculo = 30 cm = 0,3 m, e string AB = 30 cm = 0,3 m. Seja l o comprimento do arco AB. 

Como, OA = OB = AB = 0,3 m, o triângulo AOB é um triângulo equilátero.

∠AOB = 60 ^o . Sabemos 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c

Portanto, 60 ^o = 60 × π / 180 = π / 3 radianos

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ (0,3π / 3) = 0,1 0,1π m = 10π cm

Portanto, o comprimento do arco é de 10π cm.

Questão 16. Um trem está viajando em uma curva circular de 150 metros de raio a uma velocidade de 66 km / h. Por qual ângulo ele girou em 10 segundos?

Solução:

Na pista circular fornecida, OA = OB = r = 150 m

Deixe θ denotar o ângulo que o trem gira em 10 segundos.

Temos que velocidade = 66 km / hr = {66 × 1000/60 × 60} m / s = 110/6 m / s

Conseqüentemente, o trem funcionará 1100/6 m / s em 10 segundos. ⇒ arco AB = 1100/6 m

Além disso, θ = Arco / Raio = 1100/6 × 1500 = 11/90 radianos

Portanto, o ângulo é 11/90 radianos.

Questão 17. Encontre a distância do olho através da qual uma moeda de 2 cm de diâmetro deve ser segurada para que a lua cheia, cujo diâmetro angular é 31 ^' possa ser escondida?

Solução:

Recebemos θ = 31 'e arco AB = 2 cm = 0,02 m

Uma vez que, 1 '= 60 ^o ⇒ 1' = (1/60) ^o . Como 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c ,

⇒ θ = 31 '= (31/60 × π / 180) ^c

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ (31/60 × π / 180) = 0,02 / r ⇒ r = 2,217 m

Portanto, a moeda deve ser colocada a uma distância de 2,217 m do olho.

Questão 18. Encontre o diâmetro do sol em quilômetros, supondo que subtenda um ângulo de 32 ' no olho do observador. Dado que a distância do sol é 91 × 10 ⁶ km.

Solução:

Recebemos θ = 31 'e r = 91 × 10 ⁶ km

Uma vez que, 1 '= 60 ^o ⇒ 1' = (1/60) ^o . Como 180 ^o = π radianos = π ^c ou 1 ^o = (π / 180) ^c ,

⇒ θ = 32 '= (32/60 × π / 180) ^c

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ (32/60 × π / 180) = (AB / 91 × 10 ⁶ ) km = 847407,4 km

Portanto, a distância do sol é 847407,4 km

Questão 19. Se os arcos de mesmo comprimento em dois círculos subentendem ângulos de 65 ^o e 110 ^o no centro, encontre a proporção de seus raios.

Solução:

Sejam C ₁ e C ₂ os dois círculos dados com o mesmo comprimento de arco l.

Portanto, AB = CD = l

Sejam θ ₁ e θ ₂ os ângulos subtendidos, e OA = OB = r e OC = OD = R

Dado, θ ₁ = 65 ^o = (65π / 180) ^c e θ ₂ = 110 ^o = (110π / 180) ^c

Além disso, θ = Arco / Raio ⇒ θ ₁ = AB / r = l / r ou r = l / θ ₁     ……. (1)

e, θ ₂ = CD / R = l / R ou R = l / θ ₂        … .. (2)

Das equações (1) e (2), obtemos,

r / R = l / θ ₁ / l / θ ₂ = 110π / 180 / 65π / 180 = 22/13

Portanto, a proporção dos raios de ambos os círculos é 22:13.

Questão 20. Encontre a medida em grau do ângulo subtendido no centro do círculo de raio de 100 cm por um arco de comprimento de 22 cm, usando π = 22/7.

Solução:

Deixe O denotar o centro do círculo e AB denotar o arco.

Portanto, arco AB = 22 cm, e OA = OB = raio = 100 cm

Seja θ o ângulo subtendido pelo arco no centro O pelo arco AB.

Sabemos, θ = Arco / Raio = 22/100 radianos

Dado que π radianos = 180 ^o ou 1 radiano = 1 ^c = (180 / π) ^o

Portanto, 22/100 radianos = (22/100 × 180 / π) ^o = 12,6 ^o = 12 ^o 36 ′

Assim, o ângulo subtendido pelo arco no centro do círculo é 12 ^o 36 ′.