Colisões em uma dimensão

Durante o jogo, você pode ter testemunhado a colisão de duas bolas de bilhar. A colisão é a violenta união de dois corpos distintos. O que acontece quando dois objetos colidem? Podemos identificar a velocidade ou trajetória dos corpos em colisão? Deixe-nos investigar!

Uma colisão ocorre quando duas coisas entram em contato uma com a outra por um breve período de tempo. Em outros termos, uma colisão é um contato recíproco de curto prazo entre duas massas no qual o momento e a energia das massas em colisão mudam. Você pode ter visto o efeito de um striker nas moedas quando elas colidiram enquanto jogavam carambolas.

Coeficiente de restituição

A razão entre a velocidade final e a velocidade inicial das partículas em interação após a ocorrência de uma colisão entre elas é denominada coeficiente de restituição. O coeficiente de restituição é denotado por 'e' com um valor que varia de 0 a 1. Como o coeficiente de restituição é uma mercadoria constante, ele não tem nenhuma dimensão. Ele fornece mais informações sobre a elasticidade da colisão. A colisão perfeitamente elástica onde não há perda de energia cinética geral do sistema. É basicamente um valor inteiro, que representa a medida da natureza dos materiais em colisão.

O valor máximo do coeficiente de restituição é e = 1.

A fórmula para o coeficiente de restituição é,

e = Velocidade Relativa antes da Colisão / Velocidade Relativa após a Colisão

Faixa de valores para e

Uma vez que o coeficiente de restituição está entre o intervalo de 0 a 1, ele pode conter o seguinte intervalo de valores:

Para e = 0, refere-se a uma colisão perfeitamente inelástica. A energia cinética máxima é perdida durante a ocorrência desse tipo de colisão.
Se 0 <e <1, refere-se a uma colisão inelástica do mundo real, ou seja, nesses tipos de colisão, alguma energia cinética é perdida.
Se e = 1, refere-se a uma colisão perfeitamente elástica na qual nenhuma energia cinética é dissipada. Os objetos ricocheteiam com a mesma velocidade com que se aproximam.

Tipos de colisão

De acordo com a lei da conservação do momento, não há perda de energia durante a colisão de objetos com massas individuais. No entanto, pode haver certas colisões sem seguir a conservação da energia cinética. Com base na conservação de energia que está sendo seguida durante as colisões, as seguintes categorias podem ser concebidas:

(1) Colisão Elástica

As colisões elásticas conservam o momento total e a energia total. A energia cinética total pode ou não ser conservada. Como as forças envolvidas durante a colisão são conservadas na natureza, a forma de energia mecânica não é convertida em nenhuma outra forma de energia.

Vamos supor dois objetos com massas, m ₁ e m ₂ viajar com velocidades u ₁ e u ₂ , respectivamente. Sejam as velocidades finais após a colisão desses dois objetos, v ₁ ev ₂ .

De acordo com a lei da conservação do momento, temos:

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

De acordo com a conservação da energia cinética:

$\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2u ^ 2_2 = \ frac {1} {2} m_1v ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2v ^ 2_2$

Exemplos de colisão elástica são:

A colisão entre duas bolas de bilhar.
Jogar e recuperar a bola.

As aplicações de colisão elástica são:

O tempo de colisão é inversamente proporcional à força que atua entre os corpos em interação. Para maximizar a força que atua entre dois corpos, o tempo de colisão deve ser reduzido. O mesmo é possível para o outro caso. Isso implica que, para minimizar a força entre dois corpos, o tempo de colisão deve ser aumentado.

Os conceitos são visíveis no conceito de introdução de airbags em veículos. A ideia é fornecer um tempo de colapso maior para minimizar o efeito da força sobre os objetos durante uma colisão. Os airbags nos carros conseguem isso aumentando o período de tempo necessário para interromper a dinâmica do passageiro e do motorista do automóvel.

(2) Colisão Inelástica

As colisões inelásticas conservam o momento total e a energia total. A energia cinética total pode ou não ser conservada. A energia é transformada em outras formas de energia, ou seja, calor e luz. Os objetos em interação podem grudar uns nos outros ou começar a se mover alinhados na mesma direção.

Pela lei da conservação do momento, temos,

Uma vez que os objetos se movem na mesma direção, ambos os objetos se movem com a mesma velocidade, v,

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = (m ₁ + m ₂ ) v

$v = \ frac {m_1u_1 + m_2u_2} {m_1 + m_2}$

A energia cinética das massas antes da colisão é: KE ₁ = $\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2u ^ 2_2$
A energia cinética após a colisão é: KE ₂ = 1/2 (m ₁ + m ₂ ) v ₂

Pela lei de conservação de energia,

$\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2u ^ 2_2 = \ frac {1} {2} (m_1 + m_2) v_2 + Q$

onde 'Q' se refere à mudança na energia resultando na produção de calor ou som.

Exemplos de colisão inelástica são:

Acidente de dois veículos.
Um carro batendo em uma árvore.
A bola caiu de uma certa altura incapaz de subir à altura original.

Colisão unidimensional

A colisão em que as velocidades inicial e final das massas envolvidas estão em uma linha. Todas as variáveis envolvidas no movimento ocorrem em uma única dimensão.

(1) Elastic One Dimensional Collision

Nas colisões elásticas, o momento e a energia cinética interna são conservados. Uma vez que as colisões elásticas podem ser simuladas apenas com partículas microscópicas, como elétrons ou nêutrons. Considere dois prótons com as massas m ₁ e m ₂

Pela lei da conservação do momento, temos,

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

Por causa da conservação de energia cinética,

$\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2u ^ 2_2 = \ frac {1} {2} m_1v ^ 2_1 + \ frac {1} {2} m_2v ^ 2_2$

Isso implica,

m_1u ^ 2_1 + m_2u ^ 2_2 = m_1v ^ 2_1 + m_2v ^ 2_2 (Fatorando 1/2)

Reorganizando, obtemos: m_1u ^ 2_1- m_1v ^ 2_1 = m_2v ^ 2_2 - m_2u ^ 2_2

Portanto,

m_1 (u ^ 2_1- v ^ 2_1) = m_2 (v ^ 2_2 - u ^ 2_2)

Em expansão, torna-se,

m_1 (u_1 + v_1) (u_1- v_1) = m_2 (v_2 + u_2) (v_2 - u_2)

Pela conservação do momento:

m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2

Agrupando-o usando as mesmas massas:

m_1u_1-m_1v_1 = m_2v_2 -m_2u_2

Portanto,

m_1 (u_1-v_1) = m_2 (v_2 -u_2)

Ao dividir as duas equações:

$m_1 (u_1 + v_1) (u_1- v_1) = \ frac {m_2 (v_2 + u_2) (v_2 - u_2)} {m_1 (u_1-v_1)} = m_2 (v_2 -u_2)$

Nós sugerimos,

u_1 + v_1 = v_2 + u_2

Agora,

v_1 = v_2 + u_2- u_1

Substituindo o valor de v_1

$v_2 = \ frac {[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1)]} {(m_1 + m_2)}$ ……. (1)

Agora usando o valor de v2 na equação v_1 = v_2 + u_2- u_1

$v_1 = \ frac {[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1)]} {(m_1 + m_2)} + u_2- u_1 \\ v_1 = \ frac {[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1) + u_2 ( m_1 + m_2) - u_1 (m_1 + m_2)]} {(m_1 + m_2)}$ ……. (2)

Na redução, obtemos,

$v_1 = \ frac {[2m_2 u_2 + u_1 (m_1 - m_2)]} {(m_1 + m_2)}$

Na maioria das vezes após a colisão, essas massas trocam suas velocidades. Quando as massas de ambos os corpos são iguais,

$v_1 = u_2 \ e \ v_2 = u_1$

Caso o segundo objeto de massa esteja em repouso e o primeiro objeto de massa colida com ele, após a ocorrência de uma colisão, ocorre um intercâmbio nas velocidades, a primeira massa entra em repouso e a segunda massa se move com velocidade igual para a primeira missa.

Portanto, v_1 = 0 e v_2 = u_1 . Caso m_1 <m_2 então, $v_1 = -u_1 \ e \ v_2 = 0$

Isso implica que o corpo mais leve (o corpo com menor massa) tenderá a bombardear de volta com sua própria velocidade, enquanto a massa mais pesada permanecerá estática em sua posição.

Além disso, temos, no caso,

$m_1> m_2 \ então \ v_1 = u_1 \ e \ v_2 = 2u_1$

Alguns casos especiais são:

Caso I:

No caso de objetos de massa igual, ou seja, m_1 = m_2

Usando as equações (1) e (2), temos,

v_2 = u_1, v_1 = u_2 .

Portanto, podemos concluir que se dois corpos de massas iguais sofrem uma colisão elástica frontal, há uma troca de velocidade entre as partículas. Além disso, a troca de momento entre duas partículas é máxima, neste cenário.

Caso II:

Considere que a partícula alvo está em repouso i, e u_2 = 0

Usando as equações (1) e (2), temos,

$v_2 = \ esquerda (\ frac {2m} {m_1 + m_2} \ direita) u_1$ … .. (3)

$v_1 = \ esquerda (\ frac {m_1-m_2} {m_1 + m_2} \ direita) u_2$ …… (4)

A magnitude da KE transformada, é dada por,

$\ frac {\ frac {1} {2} m_2v ^ 2_2} {\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1} = \ frac {\ frac {1} {2} m_2 \ left (\ frac {2m_1u_1} { m_1 + m_2} \ direita) ^ 2} {\ frac {1} {2} m_1u ^ 2_1} \\$

$= \ frac {4m_1m_2} {(m_1 + m_2) ^ 2} = \ frac {4 \ frac {m_2} {m_1}} {\ left (1+ \ frac {m_2} {m_1} \ right) ^ 2}$ …… (5)

quando m_1 = m_2 , então nesta condição $v_0 = 0 \ e \ v_2 = u_1$

e parte da KE transferida seria

= 1

Portanto, após a colisão, os respectivos estados e velocidades das partículas são trocados, a primeira partícula pára e a segunda partícula começa a se mover com a velocidade da primeira partícula.

Nesse cenário, onde m_1 = m_2 a transferência de energia é plena, isso é 100%.

E, no caso de m_1> m_2 ou m_1 <m_2 , então a transformação de energia não é equivalente a 100%.

Caso III:

Se $m_2 >>>> m_1 \ e \ u_2 = 0$

Usando as equações (3) e (4), temos,

$v_1 ≅ -u_1 \ e \ v_2 = 0$ …… .. (6)

Caso IV:

Se $m_1 >>>> m_2 \ e \ u_2 = 0$

Usando as equações (3) e (4), temos,

$v_1 ≅ u_1 \ e \ v_2 = 2u_1$ ……… (7)

Portanto,

Podemos concluir que quando uma partícula com uma massa maior sofre uma colisão com uma partícula de massa insignificantemente mais leve em repouso, então, após a colisão, a partícula pesada mantém a mesma velocidade e a partícula leve começa o movimento com uma velocidade o dobro de uma partícula mais pesada objeto de massa.

(2) Colisão unidimensional inelástica

O momento das partículas envolvidas permanece conservado, sendo que a energia cinética é alterada para diferentes formas de energia.

Pela lei da conservação do momento, temos,

m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1 + m_2) v

Já que na colisão unidimensional inelástica, ambos os objetos tendem a se mover com a mesma velocidade v, temos,

$v = m_1u_1 + \ frac {m_2u_2} {m_1 + m_2}$

A perda de energia cinética pode ser equiparada a:

$E = \ frac {1} {2} m_1u ^ 2_2 - \ frac {1} {2} (m_1 + m_2) v_2$

Problema de amostra

Problema 1. Um objeto com massa m movendo-se com velocidade V m / s sofre uma colisão com outro corpo duas vezes de sua própria massa originalmente em repouso. Calcule a proporção de KE antes e depois da colisão.

Solução:

Massa do primeiro objeto = m
Massa do segundo objeto = 2m
A proporção de KE antes e depois da colisão será de 9: 1.

Problema 2: Calcule o coeficiente de restituição quando uma bola de borracha cai do teto situado a uma altura de 10 m. Ele rebate duas vezes e atinge uma altura final de 2,5 m.

Solução:

O coeficiente de restituição é dado por,
$e = \ frac {Relativa \ velocidade \ após \ colisão} {Relativa \ velocidade \ antes \ colisão}$
Ao calcular, obtemos,
$e = \ frac {1} {\ sqrt2}$

Problema 3: Considere duas partículas perfeitamente elásticas A e B de massas iguais, m com velocidades iniciais de 15 m / se 10 m / s, respectivamente. Quais serão suas velocidades finais?

Solução:

As velocidades dos corpos serão trocadas após a colisão, portanto, as velocidades finais das massas serão,
UMA B
10 15

Problema 4. Considere que um corpo está inicialmente na posição de repouso. Ele acelera constantemente em movimento unidimensional. Explique a relação entre a potência dissipada e o tempo.

Solução:

Pela segunda lei do movimento,
v = u + em
v = 0 + em = em
Uma vez que sabemos que o poder é equivalente a,
P = F × v
Portanto, temos,
P = (ma) × at = ma ² t
Uma vez que m e n são constantes,
Conseqüentemente, o poder é diretamente proporcional ao tempo.
P ∝ t.

Problema 5: considere um corpo como estando inicialmente na posição de repouso. Ele acelera constantemente em movimento unidimensional com potência constante. Explique a relação entre deslocamento e tempo.

Solução:

Desde, nós sabemos,
p = força × velocidade
[p] = [F] [v] = [MLT ^-2 ] [LT ^-1 ]
[p] = [ML ² T ^-3 ]
L ² T ^-3 = constante
⇒ $\ frac {L ^ 2} {T ^ 2}$ = constante
L ² ∝ T ³
⇒ L ∝ $T ^ {\ frac {3} {2}}$