Pergunta 1: Encontre os valores máximo e mínimo de cada uma das seguintes expressões trigonométricas:

(i) 12 sin x - 5 cos x

(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4

(iii) 5 cos x + 3 sin ( π / 6 - x) + 4  

(iv) sen x - cos x + 1

Solução:

Como é conhecido, o valor máximo de A cos α + B sen α + C é C+ √ (A ² + B ² ),

E o valor mínimo é C - √ (a ² + B ² ).

(i) 12sin x - 5cos x

Dado: 

f (x) = 12 sen x - 5 cos x

Aqui, A = -5, B = 12 e C = 0

–√ ((- 5) ² + 12 ² ) ≤ 12 sin x - 5 cos x ≤ √ ((- 5) ² + 12 ² )

–√ (25 + 144) ≤ 12 sin x - 5 cos x ≤ √ (25 + 144)

–√169 ≤ 12 sin x - 5 cos x ≤ √169

–13 ≤ 12 sin x - 5 cos x ≤ 13

Portanto, os valores máximo e mínimo de f (x) são 13 e –13, respectivamente.

(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4

Dado: 

f (x) = 12 cos x + 5 sen x + 4

Aqui, A = 12, B = 5 e C = 4

4 - √ (12 ² + 5 ² ) ≤ 12 cos x + 5 sin x + 4 ≤ 4 + √ (12 ² + 5 ² )

4 - √ (144 + 25) ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √ (144 + 25)

4 –√169 ≤ 12 cos x + 5 sin x + 4 ≤ 4 + √169

–9 ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 17

Portanto, os valores máximo e mínimo de f (x) são –9 e 17, respectivamente.

(iii) 5 cos x + 3 sin (π / 6 - x) + 4  

Dado: 

f (x) = 5 cos x + 3 sin (π / 6 - x) + 4  

Como sabemos, sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

f (x) = 5 cos x + 3 sin (π / 6 - x) + 4  

= 5 cos x + 3 (sin π / 6 cos x - cos π / 6 sin x) + 4

= 5 cos x + 3/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4

= 13/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4

Então, aqui A = 13/2, B = - 3√3 / 2, C = 4

4 - √ [(13/2) ² + (-3√3 / 2) ² ] ≤ 13/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4 ≤ 4 + √ [(13/2) ² + ( -3√3 / 2) ² ]

4 - √ [(169/4) + (27/4)] ≤ 13/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4 ≤ 4 + √ [(169/4) + (27/4)]

4 - 7 ≤ 13/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4 ≤ 4 + 7

–3 ≤ 13/2 cos x - 3√3 / 2 sen x + 4 ≤ 11

Portanto, os valores máximo e mínimo de f (x) são –3 e 11, respectivamente.

(iv) sen x - cos x + 1

Dado: 

f (x) = sin x - cos x + 1

Então, aqui A = -1, B = 1 e c = 1

1 - √ [(- 1) ² + 1 ² ] ≤ sin x - cos x + 1 ≤ 1 + √ [(- 1) ² + 1 ² ]

1 - √ (1 + 1) ≤ sin x - cos x + 1 ≤ 1 + √ (1 + 1)

1 - √2 ≤ sin x - cos x + 1 ≤ 1 + √2

Portanto, os valores máximo e mínimo de f (x) são 1 - √2 e 1 + √2, respectivamente.

Pergunta 2: Reduza cada uma das seguintes expressões ao seno e cosseno de uma única expressão:

(i) √3 sen x - cos x

(ii) cos x - sen x

(iii) 24 cos x + 7 sen x

Solução:

(i) √3sin x - cos x

Seja f (x) = √3 sen x - cos x

Dividindo e multiplicando por √ ((√3) ² + 1 ² ) ou seja, por 2

f (x) = 2 (√3 / 2 sen x - 1/2 cos x)

Expressão seno:

f (x) = 2 (cos π / 6 sin x - sin π / 6 cos x) (uma vez que, √3 / 2 = cos π / 6 e 1/2 = sin π / 6)

Como sabemos, sen A cos B - cos A sen B = sin (A - B)

f (x) = 2 sen (x - π / 6)

Novamente,

f (x) = 2 (√3 / 2 sen x - 1/2 cos x)

Expressão cosseno:

f (x) = 2 (sin π / 3 sin x - cos π / 3 cos x)

Como sabemos, cos A cos B - sen A sen B = cos (A + B)

f (x) = -2 cos (π / 3 + x)

(ii) cos x - sen x

Seja f (x) = cos x - sen x

Dividindo e multiplicando por √ (1 ² + 1 ² ), ou seja, por √2,

f (x) = √2 (1 / √2 cos x - 1 / √2 sen x)

Expressão seno:

f (x) = √2 (sin π / 4 cos x - cos π / 4 sin x) (uma vez que 1 / √2 = sin π / 4 e 1 / √2 = cos π / 4)

Sabemos que sen A cos B - cos A sen B = sin (A - B)

f (x) = √2 sin (π / 4 - x)

Novamente,

f (x) = √2 (1 / √2 cos x - 1 / √2 sen x)

Expressão cosseno:

f (x) = 2 (cos π / 4 cos x - sin π / 4 sin x)

Sabemos que cos A cos B - sen A sen B = cos (A + B)

f (x) = √2 cos (π / 4 + x)

(iii) 24 cos x + 7 sen x

Seja f (x) = 24 cos x + 7 sin x

Dividindo e multiplicando por √ ((√24) ² + 7 ² ) = √625 ou seja, por 25,

f (x) = 25 (24/25 cos x + 7/25 sen x)

Expressão seno:

f (x) = 25 (sen α cos x + cos α sen x) onde, sin α = 24/25 e cos α = 7/25

Sabemos que sen A cos B + cos A sen B = sin (A + B)

f (x) = 25 sen (α + x)

Expressão cosseno:

f (x) = 25 (cos α cos x + sin α sin x) onde, cos α = 24/25 e sin α = 7/25

Sabemos que cos A cos B + sen A sen B = cos (A - B)

f (x) = 25 cos (α - x)

Pergunta 3: Mostre que Sin 100 ° - Sin 10 °] é positivo.

Solução:

Seja f (x) = sen 100 ° - sen 10 °

Dividindo e multiplicando por √ (1 ² + 1 ² ), ou seja, por √2,

f (x) = √2 (1 / √2 sen 100 ° - 1 / √2 sen 10 °)

f (x) = √2 (cos π / 4 sin (90 + 10) ° - sin π / 4 sin 10 °) (uma vez que, 1 / √2 = cos π / 4 e 1 / √2 = sin π / 4 )

f (x) = √2 (cos π / 4 cos 10 ° - sen π / 4 sen 10 °)

Sabemos que cos A cos B - sen A sen B = cos (A + B)

f (x) = √2 cos (π / 4 + 10 °)

Portanto,

f (x) = √2 cos 55 °

Questão 4: Prove que (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x está entre - (2√3 + √15) e (2√3 + √15).

Solução:

Seja f (x) = (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x

Aqui, A = 2√3, B = 2√3 + 3 e C = 0

- √ [(2√3) ² + (2√3 + 3) ² ] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √ [(2√3) ² + (2√3 + 3) ² ]

- √ [12 + 12 + 9 + 12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √ [12 + 12 + 9 + 12√3]

- √ [33 + 12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √ [33 + 12√3]

- √ [15 + 12 + 6 + 12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √ [15 + 12 + 6 + 12√3]

Como sabemos que (12√3 + 6 <12√5) porque o valor de √5 - √3 é maior que 0,5

Se substituirmos, (12√3 + 6 com 12√5) a desigualdade acima ainda se mantém.

Depois de reorganizar a expressão acima:

√ (15 + 12 + 12√5) obtemos, 2√3 + √15

- 2√3 + √15 ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ 2√3 + √15

Conseqüentemente, provado.