Como encontrar o enésimo termo de uma Sequência Aritmética?
Aritmética é uma parte da matemática que trabalha com diferentes tipos de números, frações, diferentes operações aplicadas em números como adição, multiplicação, etc. A palavra Aritmética vem da palavra grega arithmos , que significa número. A aritmética também envolve exponenciação, o cálculo de porcentagens, encontrar o valor da série numérica, funções logarítmicas e raízes quadradas, etc.
Progressão aritmética
Existe uma série na aritmética chamada Progressão Aritmética (AP) , esta é uma sequência de números, onde a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma. Digamos que uma série seja 2,4, 6, 8, 10, 12, .., nesta série, a diferença entre quaisquer dois números consecutivos é 2. Se 2 for adicionado ao número anterior, então o próximo número na série é obtido, da mesma forma, se 2 é subtraído do próximo número, o número anterior é obtido.
A fórmula para encontrar o enésimo termo
Para trabalhar com esta série existem algumas fórmulas disponíveis, fórmulas como encontrar o enésimo termo na série, fórmula para encontrar a soma de todos os termos em séries aritméticas. Existem fórmulas introduzidas que podem ajudar a encontrar o valor com opções fornecidas limitadas, por exemplo, encontrar o enésimo termo apenas do primeiro e do último termo. Digamos que uma série A consista em algum elemento a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ... a
A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,… a n }
- Diferença comum entre dois termos (d) = (a1-a2)
- Soma da série (S) = (n / 2) [2a + (n - 1) d]
- Primeiro termo = a
- 2º termo = a + d
- 3º termo = a + 2d
- da mesma forma, enésimo termo = a + (n-1) d
Passos para encontrar o enésimo termo
Etapa 1: primeiro encontre o primeiro e o segundo termos, que são 1 e 2 .
Etapa 2: em seguida, encontre a diferença comum entre eles, que é d = (a 2 -a 1 )
Passo 3 : Agora, somando a diferença d com o 2º termo teremos o 3º termo, e assim, a série continua. Esse é o segundo termo, a 2 = a 1 + d (a 1 é o primeiro termo)
3º termo, a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d
4º termo, a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d
Então, podemos ver que o número de d é 1 menor que o número de termos. Isso é,
Em a 2 , o número de d é 1, [(2-1) = 1]
Em a 3, o número de d é 2, [(3-1) = 2]
Em 4, o número de d é 3, [(4-1) = 3]
Portanto, da mesma forma, para o enésimo termo, o número de d deve ser (N-1) vezes.
Portanto , enésimo termo, an = a 1 + (N-1) d ⇢ [Primeiro termo + (Último termo - 1) × diferença comum]
Problemas de amostra
Pergunta 1: Encontre o nono termo da série fornecida, {1, 4, 7, 10, 13, 16,….}
Solução:
Aqui N é 9,
Primeiro termo, a 1 = 1
2º mandato, um 2 = 4,
3º termo a 3 = 7
4º termo a 4 = 10
Agora encontre a diferença comum,
d = a 2 - a 1 = 4 - 1 = 3
verifique se d está correto ou não,
a 1 + d = 1 + 3 = 4 = a 2
a 2 + d = 4 + 3 = 7 = a 3
a 3 + d = 7 + 3 = 10 = a 4
a 4 + d = 10 + 3 = 13 = a 5
a 5 + d = 13 + 3 = 16 = a 6
Então, aqui a diferença comum está correta.
agora o 9º mandato,
a 9 = Primeiro termo + (Último termo - 1) × diferença comum
= a1 + (N-1) d
= 1 + (9-1) × 3
= 1+ 8 * 3
= 1 + 24
= 25
Portanto, o nono termo é 25.
Pergunta 2: Encontre o 12º termo da série fornecida, {5, 11, 17, 23, 29,….}
Solução:
Aqui N é 12,
Primeiro termo, a 1 = 5
2º termo, um 2 = 11,
3º termo a 3 = 17
4º termo a 4 = 23
Agora encontre a diferença comum,
d = a 2 - a 1 = 11 - 5 = 6
verifique se d está correto ou não,
a 1 + d = 5 + 6 = 11 = a 2
a 2 + d = 11 + 6 = 17 = a 3
a 3 + d = 17 + 6 = 23 = a 4
a 4 + d = 23 + 6 = 29 = a 5
Então, aqui a diferença comum está correta.
Agora, o 12º mandato,
a 12 = Primeiro termo + (12º termo - 1) × diferença comum
= a 1 + (N-1) d
= 1 + (12-1) × 6
= 1+ 11 × 6
= 1 + 66
= 67
Portanto, o 12º termo é 67.
Questão 3: se o 4º termo de um AP é 8 com uma diferença comum de 2. Descubra a progressão aritmética de até 8 termos.
Solução:
Dado que, o quarto termo, um 4 é 8 e a diferença comum é 2,
Portanto, o quarto termo pode ser escrito como,
a + (4 - 1) × 2 = 8 [a = primeiro termo]
= a + 3 × 2 = 8
= a = 8 - 3 × 2
= a = 8 - 6
= a = 2
Portanto, o primeiro termo a 1 é 2,
Agora, a 2 = a 1 +2 = 2 + 2 = 4
a 3 = a 2 +2 = 4 + 2 = 6
a 4 = 8
a 5 = a 4 +2 = 8 + 2 = 10
a 6 = a 5 +2 = 10 + 2 = 12
a 7 = a 6 +2 = 12 + 2 = 14
a 8 = a 7 +2 = 14 + 2 = 16
Portanto, o termo da série até 8 é = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
Questão 4: Encontre o 7º termo de um AP cujo 3º termo é 9 e o 5º termo é 15?
Solução:
Dado que, o terceiro termo, a 3 é 9 e o quinto termo, a 5 é 15. aqui temos que encontrar a diferença comum e o primeiro termo (a 1 ).
a 3 = a 1 + 2d = 9 [da fórmula] ⇢ (1)
E, a 5 = a 1 + 4d = 15 ⇢ (2)
Resolva (1) e (2),
a 1 + 2d = 9 ⇢ (1)
a 1 + 4d = 15 ⇢ (2)
Vamos aplicar a subtração entre (1) e (2)
2d = 6, d = 3
Então, a diferença comum é 3
Agora coloque o valor de d em qualquer uma das equações, aqui coloque o valor de d em (1)
a 1 + 2d = 9
= a 1 + 2 × 3 = 9 [d = 3]
= a 1 = 9-6
= a 1 = 6
Portanto, o primeiro termo é 3
Agora, para encontrar o 7º termo,
Aplique a fórmula para encontrar o enésimo termo, aqui n = 7
a 7 = Primeiro termo + (7º termo - 1) × diferença comum
a 7 = a 1 + (7-1) d
a 7 = 3 + 6 × 3 [d = 3 e a 1 = 3]
a 7 = 21
Portanto, o 7º termo é 21.
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Diógenes Lima da Silva