Aritmética é uma parte da matemática que trabalha com diferentes tipos de números, frações, diferentes operações aplicadas em números como adição, multiplicação, etc. A palavra Aritmética vem da palavra grega arithmos , que significa número. A aritmética também envolve exponenciação, o cálculo de porcentagens, encontrar o valor da série numérica, funções logarítmicas e raízes quadradas, etc.

Progressão aritmética

Existe uma série na aritmética chamada Progressão Aritmética (AP) , esta é uma sequência de números, onde a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma. Digamos que uma série seja 2,4, 6, 8, 10, 12, .., nesta série, a diferença entre quaisquer dois números consecutivos é 2. Se 2 for adicionado ao número anterior, então o próximo número na série é obtido, da mesma forma, se 2 é subtraído do próximo número, o número anterior é obtido. 

A fórmula para encontrar o enésimo termo

Para trabalhar com esta série existem algumas fórmulas disponíveis, fórmulas como encontrar o enésimo termo na série, fórmula para encontrar a soma de todos os termos em séries aritméticas. Existem fórmulas introduzidas que podem ajudar a encontrar o valor com opções fornecidas limitadas, por exemplo, encontrar o enésimo termo apenas do primeiro e do último termo. Digamos que uma série A consista em algum elemento a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ... a

A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,… a n }

  • Diferença comum entre dois termos (d) = (a1-a2)
  • Soma da série (S) = (n / 2) [2a + (n - 1) d]
  • Primeiro termo = a
  • 2º termo = a + d
  • 3º termo = a + 2d
  • da mesma forma, enésimo termo = a + (n-1) d

Passos para encontrar o enésimo termo

Etapa 1: primeiro encontre o primeiro e o segundo termos, que são 1 e 2 .

Etapa 2: em  seguida, encontre a diferença comum entre eles, que é d = (a 2 -a 1 )

Passo 3 : Agora, somando a diferença d com o 2º termo teremos o 3º termo, e assim, a série continua. Esse é o segundo termo, a 2 = a 1 + d (a 1 é o primeiro termo)

3º termo, a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d

4º termo, a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d

Então, podemos ver que o número de d é 1 menor que o número de termos.  Isso é,

Em a 2 , o número de d é 1, [(2-1) = 1]

Em a 3, o número de d é 2, [(3-1) = 2]

Em 4, o número de d é 3, [(4-1) = 3]

Portanto, da mesma forma, para o enésimo termo, o número de d deve ser (N-1) vezes.

Portanto , enésimo termo, an = a 1 + (N-1) d ⇢ [Primeiro termo + (Último termo - 1) × diferença comum]

Problemas de amostra

Pergunta 1: Encontre o nono termo da série fornecida, {1, 4, 7, 10, 13, 16,….}

Solução:

Aqui N é 9,

Primeiro termo, a 1 = 1 

2º mandato, um 2 = 4,

3º termo a 3 = 7

4º termo a 4 = 10

Agora encontre a diferença comum, 

d = a 2 - a 1 = 4 - 1 = 3

verifique se d está correto ou não,

a 1 + d = 1 + 3 = 4 = a 2

a 2 + d = 4 + 3 = 7 = a 3

a 3 + d = 7 + 3 = 10 = a 4

a 4 + d = 10 + 3 = 13 = a 5

a 5 + d = 13 + 3 = 16 = a 6

Então, aqui a diferença comum está correta.  

agora o 9º mandato, 



a 9 = Primeiro termo + (Último termo - 1) × diferença comum 

= a1 + (N-1) d

= 1 + (9-1) × 3

= 1+ 8 * 3

= 1 + 24

= 25 

Portanto, o nono termo é 25.

Pergunta 2: Encontre o 12º termo da série fornecida, {5, 11, 17, 23, 29,….}

Solução:

Aqui N é 12,

Primeiro termo, a 1 = 5

2º termo, um 2 = 11,

3º termo a 3 = 17

4º termo a 4 = 23

Agora encontre a diferença comum,

d = a 2 - a 1 = 11 - 5 = 6

verifique se d está correto ou não,

a 1 + d = 5 + 6 = 11 = a 2

a 2 + d = 11 + 6 = 17 = a 3

a 3 + d = 17 + 6 = 23 = a 4

a 4 + d = 23 + 6 = 29 = a 5

Então, aqui a diferença comum está correta.  

Agora, o 12º mandato,

a 12 = Primeiro termo + (12º termo - 1) × diferença comum

= a 1 + (N-1) d

= 1 + (12-1) × 6

= 1+ 11 × 6

= 1 + 66

= 67

Portanto, o 12º termo é 67.

Questão 3: se o 4º termo de um AP é 8 com uma diferença comum de 2. Descubra a progressão aritmética de até 8 termos.

Solução:

Dado que, o quarto termo, um 4 é 8 e a diferença comum é 2,

Portanto, o quarto termo pode ser escrito como,

a + (4 - 1) × 2 = 8 [a = primeiro termo]

= a + 3 × 2 = 8

= a = 8 - 3 × 2

= a = 8 - 6

= a = 2

Portanto, o primeiro termo a 1 é 2,



Agora, a 2 = a 1 +2 = 2 + 2 = 4

a 3 = a 2 +2 = 4 + 2 = 6

a 4 = 8

a 5 = a 4 +2 = 8 + 2 = 10

a 6 = a 5 +2 = 10 + 2 = 12

a 7 = a 6 +2 = 12 + 2 = 14

a 8 = a 7 +2 = 14 + 2 = 16

Portanto, o termo da série até 8 é = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Questão 4: Encontre o 7º termo de um AP cujo 3º termo é 9 e o 5º termo é 15?

Solução:

Dado que, o terceiro termo, a 3 é 9 e o quinto termo, a 5 é 15. aqui temos que encontrar a diferença comum e o primeiro termo (a 1 ).

a 3 = a 1 + 2d = 9 [da fórmula] ⇢ (1)

E, a 5 = a 1 + 4d = 15 ⇢ (2)

Resolva (1) e (2),

a 1 + 2d = 9 ⇢ (1)

a 1 + 4d = 15 ⇢ (2)

Vamos aplicar a subtração entre (1) e (2) 

2d = 6, d = 3

Então, a diferença comum é 3

Agora coloque o valor de d em qualquer uma das equações, aqui coloque o valor de d em (1)

a 1 + 2d = 9

= a 1 + 2 × 3 = 9 [d = 3]

= a 1 = 9-6

= a 1 = 6

Portanto, o primeiro termo é 3

Agora, para encontrar o 7º termo,

Aplique a fórmula para encontrar o enésimo termo, aqui n = 7

a 7 = Primeiro termo + (7º termo - 1) × diferença comum

a 7 = a 1 + (7-1) d

a 7 = 3 + 6 × 3 [d = 3 e a 1 = 3]

a 7 = 21

Portanto, o 7º termo é 21.