Um ângulo é feito, quando duas linhas se cruzam. Denotamos um ângulo por este símbolo “∠”. Um ângulo envolve duas pernas e um vértice comum no qual duas linhas se encontram. Uma linha é uma forma unidimensional (1-D), que tem comprimento, mas nenhuma largura, e uma linha é feita de um conjunto de pontos moldados na direção oposta ao infinito. Uma linha é determinada por dois pontos em um plano bidimensional. Se dois pontos estiverem na mesma linha, eles serão pontos colineares.

Temos linhas horizontais, perpendiculares, verticais e paralelas na geometria. E cada linha desempenha um papel importante na criação de polígonos. A linha nunca tem um ponto inicial ou um ponto terminal. Os pares de linhas podem se cruzar ou podem ser perpendiculares. As linhas podem ser basicamente categorizadas como um segmento de linha e um raio. Os ângulos podem ser categorizados como ângulo agudo (<90 °), ângulo reto (= 90 °), ângulo obtuso (> 90 °), ângulo reto (= 180 °). Os ângulos são baseados em conceitos executados em linhas que são linhas paralelas, linhas perpendiculares e transversais. Os ângulos são baseados em dois conceitos de ângulos suplementares, ângulos complementares, ângulos adjacentes e ângulos verticalmente opostos.

As linhas podem ser categorizadas como:

1. Segmento de linha
2. Segmento de raio

Segmento de Linha

Um segmento de linha possui dois pontos finais. É a distância mais curta entre dois pontos e tem comprimento fixo.

Raio

Um raio tem um ponto inicial e se move para o infinito em uma direção.

Linhas baseadas no conceito de intersecção

1. Linhas paralelas
2. Linhas perpendiculares
3. Linha transversal

Linhas perpendiculares

Quando duas linhas formam um ângulo reto entre si e se encontram em um único ponto, são chamadas de linhas perpendiculares.

Linhas paralelas

Linhas paralelas são aquelas linhas que não se encontram em um plano em nenhum ponto e não se cruzam.

Linhas Transversais

Quando duas linhas dadas se cruzam em um ponto distinto, elas serão chamadas de linhas transversais.

Propriedades das linhas:

• Quando mais de três pontos estiverem no mesmo plano, serão chamados de pontos colineares.
• Quando mais de três pontos não estiverem no mesmo plano, serão chamados de pontos não colineares.

Ângulos

Os ângulos podem ser categorizados como:

Ângulo agudo: quando o ângulo é menor que um ângulo reto, então será um ângulo agudo.

Ângulo obtuso: quando o ângulo é mais do que um ângulo reto, então será um ângulo obtuso.

Ângulo Reto: Quando o ângulo é de 90 graus, então será um ângulo reto.

Ângulo reto: Quando 180 graus, um ângulo é formado, então será o ângulo reto.

Ângulos baseados em dois conceitos, do ponto de vista conceitual, eles são

1. Ângulos suplementares
2. Ângulos complementares
3. Ângulos adjacentes
4. Ângulos verticalmente opostos

Ângulos complementares

Quando dois ângulos somam 90 °, será um ângulo complementar.

Ângulos suplementares

Dois ângulos somados a 180 ° serão ângulos suplementares.

Ângulos Adjacentes

Quando dois ângulos têm um lado comum e um vértice comum, então o ângulo é denominado ângulos adjacentes.

Ângulos verticalmente opostos

Quando dois ângulos opostos um ao outro e duas linhas se cruzam em um ponto comum são chamados de ângulos verticalmente opostos.

∠AOD = ∠BOC

∠AOB = ∠DOC

Ângulos verticais são congruentes

Prova:

∠MON = ∠POQ

∠MOP = ∠NOQ

Passo 1:

∠MOP + ∠MON≡ 180 °

Passo 2:

∠MOP + ∠POQ≡ 180 °

Portanto: ∠MOP + ∠MON≡∠MOP + ∠POQ

Agora adicionando ∠MOP em ambos os lados

∠MOP + ∠MON-∠MOP≡∠MOP + ∠POQ-∠MOP

Então; ∠MON≡∠POQ

Etapa 3:

∠MON + ∠NOQ≡ 180 °

Passo 4:

∠POQ + ∠NOQ≡ 180 °

Portanto: ∠MOP + ∠NOQ≡∠POQ + ∠NOQ

Adicionando ∠NOQ em ambos os lados

Então, ∠MOP + ∠NOQ -∠NOQ≡∠POQ + ∠NOQ-∠NOQ

∠MOP≡∠POQ

SO: ∠MON = ∠POQ

∠MOP = ∠NOQ

Ângulos no Triângulo somam 180 °

A + B + C = 180 °

Prova:

Como você pode ver a linha superior paralela à base do triângulo

Então: ∠ A é o mesmo

∠B é o mesmo

E você pode ver que o ângulo A + B + C faz uma rotação completa de um lado da linha reta para o outro ou 180 °

Linhas paralelas e ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes:

Suponha que N, M e O sejam linhas distintas. Então N e M são paralelos se e somente se os ângulos correspondentes da interseção de N e O, e M e O são iguais.

Prova:

=> Suponha que N e M sejam paralelos, prove que os ângulos correspondentes são iguais.

Assumindo N || M, vamos rotular um par de ângulos correspondentes α e β. Sabemos que o ângulo γ é suplementar ao ângulo α do teorema do ângulo reto (porque ZO é uma linha e qualquer ponto em O pode ser considerado um ângulo reto entre dois pontos em cada lado do ponto em questão). Observe que β e γ também são suplementares, uma vez que formam ângulos internos de linhas paralelas no mesmo lado da transversal O (do Teorema dos Ângulos Internos de Mesmo Lado).

Portanto, como γ = 180 - α = 180 - β, sabemos que α = β. Isso pode ser comprovado para cada par de ângulos correspondentes, da mesma forma descrita acima.

<= Assuma que os ângulos correspondentes são iguais e prove que N e M são paralelos.

Assumindo ângulos correspondentes, vamos rotular cada ângulo α e β apropriadamente. Pelo teorema do ângulo reto, podemos rotular cada ângulo correspondente como α ou β.

Por exemplo, sabemos α + β = 180º no lado direito da interseção de N e O, uma vez que forma um ângulo reto em O. Consequentemente, podemos rotular os ângulos no lado esquerdo da interseção de N e O α ou β, uma vez que formam ângulos retos em N.

Visto que, como afirmamos antes, α + β = 180º, sabemos que os ângulos internos de cada lado de O somam 180º. Pelo mesmo teorema dos ângulos internos laterais, isso torna N || M.